Question

（2011•浙江）設函數f（x）=（x﹣a）²lnx，a∈R
（1）若x=e為y=f（x）的極值點，求實數a；
（2）求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立．
注：e為自然對數的底數．

Answer 1

（1）a=e，或a=3e    （2）

（1）求導得f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），
因為x=e是f（x）的極值點，
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
經檢驗，a=e或a=3e符合題意，
所以a=e，或a=3e
（2）①當0＜x≤1時，對于任意的實數a，恒有f（x）≤0＜4e²成立
②當1＜x≤3e時，，由題意，首先有f（3e）=（3e﹣a）²ln3e≤4e²，
解得
由（1）知f′（x）=2（x﹣a）lnx+=（x﹣a）（2lnx+1﹣），
令h（x）=2lnx+1﹣，則h（1）=1﹣a＜0，
h（a）=2lna＞0且h（3e）=2ln3e+1﹣≥2ln3e+1﹣=2（ln3e﹣）＞0
又h（x）在（0，+∞）內單調遞增，所以函數h（x）在在（0，+∞）內有唯一零點，記此零點為x₀
則1＜x₀＜3e，1＜x₀＜a，從而，當x∈（0，x₀）時，f′（x）＞0，
當x∈（x₀，a）時，f′（x）＜0，
當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，即f（x）在（0，x₀）內是增函數，
在（x₀，a）內是減函數，在（a，+∞）內是增函數
所以要使得對任意的x∈（0，3e]，恒有f（x）≤4e²成立只要有
有h（x₀）=2lnx₀+1﹣=0得a=2x₀lnx₀+x₀，將它代入得4x₀²ln³x₀≤4e²
又x₀＞1，注意到函數4x²ln³x在（1，+∞）上是增函數故1＜x₀≤e
再由a=2x₀lnx₀+x₀，及函數2xlnx+x在（1，+∞）上是增函數，可得1＜a≤3e
由f（3e）=（3e﹣a）²ln3e≤4e²解得，
所以得
綜上，a的取值范圍為