Question

（12分）（2011•重慶）設f（x）=2x³+ax²+bx+1的導數為f′（x），若函數y=f′（x）的圖象關于直線x=﹣對稱，且f′（1）=0
（Ⅰ）求實數a，b的值
（Ⅱ）求函數f（x）的極值．

Answer 1

（Ⅰ）a=3   b=﹣12（Ⅱ）f（1）=﹣6

試題分析：（Ⅰ）先對f（x）求導，f（x）的導數為二次函數，由對稱性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b
（Ⅱ）對f（x）求導，分別令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的單調區間，繼而確定極值．
解：（Ⅰ）因f（x）=2x³+ax²+bx+1，故f′（x）=6x²+2ax+b
從而f′（x）=6y=f′（x）關于直線x=﹣對稱，
從而由條件可知﹣=﹣，解得a=3
又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x³+3x²﹣12x+1
f′（x）=6x²+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）
令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2
當x∈（﹣∞，﹣2）時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函數；
當x∈（﹣2，1）時，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是減函數；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數．
從而f（x）在x=﹣2處取到極大值f（﹣2）=21，在x=1處取到極小值f（1）=﹣6．
點評：本題考查函數的對稱性、函數的單調區間和極值，考查運算能力．