Question

設函數.
（1）當時，求函數在區間內的最大值；
（2）當時，方程有唯一實數解，求正數的值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）先求出導數方程的根，對此根與區間的位置關系進行分類討論，確定函數在區間上的單調性，從而求出函數在區間上的最大值；（2）構造函數，
利用導數求出函數的極值點，并確定函數的單調性，得到，消去并化簡得到，通過構造函數并利用導數研究函數的單調性并結合，得到，從而求出的值.
（1），，
令得. 因為時，，時，，
所以在遞增，在遞減；
①當時，即時，在上遞減，
所以時取最大值；
②當時，即時，在遞增，在遞減，
所以時，取最大值；
③當即時，在遞增，
所以時取最大值；
（2）因為方程有唯一實數解，即有唯一實數解，
設，則，
令，，因為，，
所以（舍去），，
當時，，在上單調遞減，
當時，，在上單調遞增，
所以最小值為，
則，即， 
所以，即，
設，
，恒成立，故在單調遞增，
至多有一解，
又，所以，即，解得.