Question

設f(x)是定義在區間(1，＋∞)上的函數，其導函數為f′(x)．如果存在實數a和函數h(x)，其中h(x)對任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)＞0，使得f′(x)＝h(x)(x²－ax＋1)，則稱函數f(x)具有性質P(a)．
(1)設函數f(x)＝ln x＋ (x＞1)，其中b為實數．
①求證：函數f(x)具有性質P(b)；
②求函數f(x)的單調區間；
(2)已知函數g(x)具有性質P(2)．給定x₁，x₂∈(1，＋∞)，x₁＜x₂，設m為實數，α＝mx₁＋(1－m)x₂，β＝(1－m)x₁＋mx₂，且α＞1，β＞1，若|g(α)－g(β)|＜|g(x₁)－g(x₂)|，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）當b≤2時，函數f(x)的單調增區間為(1，＋∞)；
當b＞2時，函數f(x)的單調減區間為(1，)，單調增區間為(，＋∞)．
（2）(0,1)

解：(1)由f(x)＝ln x＋，得f′(x)＝.
①證明：因為x＞1時，h(x)＝＞0，所以函數f(x)具有性質P(b)．
②當b≤2時，由x＞1得x²－bx＋1≥x²－2x＋1＝(x－1)²＞0，
所以f′(x)＞0.從而函數f(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增．
當b＞2時，令x²－bx＋1＝0得
x₁＝，x₂＝.
因為x₁＝＝＜＜1，
x₂＝＞1，
所以當x∈(1，x₂)時，f′(x)＜0；當x∈(x₂，＋∞)時，f′(x)＞0；當x＝x₂時，f′(x)＝0.從而函數f(x)在區間(1，x₂)上單調遞減，在區間(x₂，＋∞)上單調遞增．
綜上所述，當b≤2時，函數f(x)的單調增區間為(1，＋∞)；
當b＞2時，函數f(x)的單調減區間為(1，)，單調增區間為(，＋∞)．
(2)由題設知，g(x)的導函數
g′(x)＝h(x)(x²－2x＋1)，
其中函數h(x)＞0對于任意的x∈(1，＋∞)都成立，
所以當x＞1時，g′(x)＝h(x)(x－1)²＞0，
從而g(x)在區間(1，＋∞)上單調遞增．
①當m∈(0,1)時，
有α＝mx₁＋(1－m)x₂＞mx₁＋(1－m)x₁＝x₁，
α＜mx₂＋(1－m)x₂＝x₂，即α∈(x₁，x₂)，
同理可得β∈(x₁，x₂)．
所以由g(x)的單調性知g(α)，g(β)∈(g(x₁)，g(x₂))，從而有|g(α)－g(β)|＜|g(x₁)－g(x₂)|，符合題意．
②當m≤0時，α＝mx₁＋(1－m)x₂≥mx₂＋(1－m)x₂＝x₂，β＝(1－m)x₁＋mx₂≤(1－m)x₁＋mx₁＝x₁，于是由α＞1，β＞1及g(x)的單調性知g(β)≤g(x₁)＜g(x₂)≤g(α)，
所以|g(α)－g(β)|≥|g(x₁)－g(x₂)|，與題意不符．
③當m≥1時，同理可得α≤x₁，β≥x₂，
進而得|g(α)－g(β)|≥|g(x₁)－g(x₂)|，與題意不符．
綜上所述，所求的m的取值范圍為(0,1)．