Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．

(1)證明MN∥平面PAB；

(2)求四面體N－BCM的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】試題分析：（1）取的中點，連接，證得，得出,

即，再用線面平行的判定定理，即可作出證明；

（2）根據題意，得出到的距離為，得出，再利用三棱錐的體積公式，即可求得三棱錐的體積.

試題解析：

(1)證明：由已知得AM＝AD＝2，如圖，取BP的中點T，連接AT，TN，由N為PC中點知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故，所以四邊形AMNT為平行四邊形，

于是MN∥AT.因為AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB.

(2)因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為PA.

如圖，取BC的中點E，連接AE，由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.

由AM∥BC得M到BC的距離為，故S△BCM＝×4×＝2，

所以四面體N－BCM的體積VN－BCM＝＝.