Question

【題目】某縣相鄰兩鎮在一平面直角坐標系下的坐標為A(1,2)、B(4,0)，一條河所在直線方程為l：x＋2y－10＝0，若在河邊l上建一座供水站P使之到A、B兩鎮的管道最省，問供水站P應建在什么地方？此時|PA|＋|PB|為多少？

Answer 1

【答案】供水站應建在點處；

【解析】試題分析：根據兩點間的距離公式以及點的對稱性，建立方程組的關系，進行求解即可.

試題解析：

如圖所示，過A作直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，因為若P′(異于P)在直線l上，則|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|.

因此，供水站只能在點P處，才能取得最小值．

設A′(a，b)，則AA′的中點在l上，且AA′⊥l，

即，解得，即A′(3,6)．

所以直線A′B的方程為6x＋y－24＝0.

解方程組，得.

所以P點的坐標為(，)．

故供水站應建在點P(，)處，

此時|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝ .