Question

【題目】設f（x）= （a∈R）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直．
（1）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，求實數m的取值范圍；
（2）設函數g（x）=（x+1）f（x）﹣b（x﹣1）在[1，e]上有且只有一個零點，求實數b取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，

∵y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，

∴f′（1）= ，

∴ = ，∴1+a=1，解得a=0．

f（x）= ，

若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x﹣1）恒成立，

即lnx≤m（x﹣ ），

設g（x）=lnx﹣m（x﹣ ），

即對于任意的x∈[1，+∞），g（x）≤0，

g′（x）= ﹣m（1+ ）= ，

①若m≤0，g′（x）＞0，則g（x）≥g（1）=0，這與題設g（x）≤0矛盾．

②若m＞0，方程﹣mx2+x﹣m=0的判別式△=1﹣4m2，

當△≤0，即m≥ 時，g′（x）≤0．

∴g（x）在（1，+∞）上單減，

∴g（x）≤g（1）=0，不等式成立．

當0＜m＜ 時，方程﹣mx2+x﹣m=0，設兩根為x1，x2，（x1＜x2），

x1= ∈（0，1），x2= ∈（1，+∞），

當x∈（1，x1），g′（x）＞0，g（x）單調遞增，g（x）＞g（1）=0，與題設矛盾，

綜上所述，m≥

（2）解：因為g（x）=xlnx﹣b（x﹣1），注意到g（1）=0

所以，所求問題等價于函數g（x）=xlnx﹣b（x﹣1）在（1，e]上沒有零點．

因為g′（x）=lnx+1﹣b，

所以由g′（x）＜0lnx+1﹣b＜00＜x＜eb﹣1，

g′（x）＞0x＞eb﹣1

所以g（x）在（0，eb﹣1）上單調遞減，在（eb﹣1，+∞）上單調遞增．

①當eb﹣1≤1，即b≤1時，g（x）在（1，e]上單調遞增，所以g（x）＞g（1）=0

此時函數g（x）在（1，e]上沒有零點，

②當1＜eb﹣1＜e，即1＜b＜2時，g（x）在[1，eb﹣1）上單調遞減，在（eb﹣1，e]上單調遞增．

又因為g（1）=0，g（e）=e﹣be+b，g（x）在（1，e]上的最小值為g（eb﹣1）=b﹣eb﹣1

所以，（i）當1＜b≤ 時，g（x）在[1，e]上的最大值g（e）≥0，

即此時函數g（x）在（1，e]上有零點．

（ii）當 ＜b＜2時，g（e）＜0，即此時函數g（x）在（1，e]上沒有零點．

③當e≤eb﹣1 即b≥2時，g（x）在[1，e]上單調遞減，

所以g（x）在[1，e]上滿足g（x）＜g（1）=0，

此時函數g（x）在（1，e]上沒有零點

綜上，所求的a的取值范圍是b≤1或 ＜b

【解析】（1）求函數的導數，根據導數的幾何意義即可得到結論．求a的值；將不等式恒成立轉化為求函數的最值，求函數的導數，利用導數進行求解即可；（2）將條件轉化為函數g（x）=xlnx﹣a（x﹣1）在（1，e]上沒有零點，即可得到結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．