Question

已知兩直線l₁：3x-4y+7=0和l₂：x=-1，點(diǎn)P在拋物線y²=4x上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線l，和l₂的距離之和的最小值是（　　）

• A、2
• B、

  11

  5

• C、

  12

  5

• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線 y²=4x，求得拋物線的焦點(diǎn)F和準(zhǔn)線，推斷出l₂為拋物線的準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義知，P到準(zhǔn)線的距離與P到F的距離相等，進(jìn)而可知拋物線y²=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和直線l₂的距離之和，即P到F和到直線l₁的距離之和的最小值為F到l₁的距離．利用點(diǎn)到直線的距離公式求得答案．

解答： 解：∵拋物線 y²=4x
∴焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線x=-1，即l₂為拋物線的準(zhǔn)線方程，
利用拋物線的定義，
P到準(zhǔn)線的距離與P到F的距離相等
∴拋物線y²=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l₁和直線l₂的距離之和即P到F和到直線l₁的距離之和．
∴最小值為F到l₂的距離．
∴P到直線l，和l₂的距離之和的最小值為d=

|3+7|

42+32

=

10

5

=2，

故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．解題的過(guò)程中特別利用了拋物線的定義，以及數(shù)形結(jié)合的思想．