Question

已知各項均為正數的數列中，是數列的前項和，對任意，有.函數，數列的首項

（Ⅰ）求數列的通項公式；（Ⅱ）令求證：是等比數列并求通項公式
（Ⅲ）令，，求數列的前n項和.

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ） ;（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）由        ①
得        ②           1分
由②—①，得  
即：                  2分
由于數列各項均為正數，
                                  3分
即 數列是首項為，公差為的等差數列，
數列的通項公式是            4分
（Ⅱ）由知，
所以，                        5分
有，即， 6分
而，
故是以為首項，公比為2的等比數列.                  7分
所以                                              8分
（Ⅲ），                 9分
所以數列的前n項和 
錯位相減可得                         12分
考點：等差數列、等比數列的通項公式， “錯位相減法”。
點評：中檔題，確定數列通項公式，往往利用已知條件，建立相關“元素”的方程組，達到解題目的。 本題利用前n項和與提醒的關系，確定數列的通項公式，也是較為常見的題型。“分組求和法”“裂項相消法”“錯位相減法”是高考常常考查的數列求和方法。本題對運算能力要求較高。