Question

下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸）標準煤的幾組對照數據：

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）求y關于x的線性回歸方程；（已知b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 xi2-n . x 2

）
（2）已知該廠技術改造前100噸甲產品能耗為90噸標準煤，試根據（1）求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低了多少噸標準煤．

Answer 1

分析：（1）根據所給的這組數據求出利用最小二乘法所需要的幾個數據，代入求系數b的公式，求得結果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．
（2）根據上一問所求的線性回歸方程，把x=100代入線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低標準煤的數量．

解答：解：（1）∵

.

x

=

1

4

(3+4+5+6)=4.5（噸），

.

y

=

1

4

(2.5+3+4+4.5)=3.5（噸），

4

i=1

xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，

4

i=1

x

2 i

=9+16+25+36=86，
∴b=

4 i=1 xiyi-4 . x . y

4 i=1 xi2-4 . x 2

=

66.5-4×4.5×3.5

86-4×4.52

=0.7，
∴a=

.

y

-0.7×

.

x

=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴y關于x的回歸方程為

?

y

=0.7x+0.35；
（2）由（1）可知技術改造后100噸甲產品的生產能耗約為0.7×100+0.35=70.35（噸），
∵技術改造前100噸甲產品的生產能耗為90噸，
∴降低的能耗約為90-70.35=19.65（噸），
即預測生產100噸甲產品的生產能耗比技術改造前降低了19.65噸標準煤．

點評：本題考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，是一個基礎題，解題時運算量比較大，注意利用公式求系數時，不要在運算上出錯．屬于中檔題．