Question

下列命題： ①設函數f（x）=g（x）+x2，曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為y=2x+1，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率為- 1 2 ； ②關于x的不等式（a-3）x2＜（4a-2）x對任意的a∈（0，1）恒成立，則x的取值范圍是(-∞，-1]∪[ 2 3 ，+∞)， ③變量X與Y相對應的一組數據為（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5）；變量U與V相對應的一組數據為（10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），r1表示變量Y與X之間的線性相關系數，r2表示變量V與U之間的線性相關系數，則r2＜0＜r1； ④下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x（噸）與相應的生產能耗y（噸標準煤）的幾組對照數據 x 3 4 5 6 y 2.5 3 4 4.5 根據上表提供的數據，得出y關于x的線性回歸方程為y=a+0.7x，則a=-0.35； 以上命題正確的個數是（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①，欲求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線的斜率，即求f′（1），先求出f′（x），然后根據曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為y=2x+1求出g′（1），從而得到f′（x）的解析式，即可求出所求．
②，不等式（a-3）x²＜（4a-2）x即（x²-4x）a-3x²+2x＜0，令g（a）=（x²-4x）a-3x²+2x，a∈（0，1），借助一次函數單調性可得關于x的不等式組，解出即可；
③，求兩組數據的相關系數的大小和正負，可以詳細的解出這兩組數據的相關系數，現分別求出兩組數據的兩個變量的平均數，利用相關系數的個數代入求出結果，進行比較．
④，根據所給的這組數據求出利用最小二乘法所需要的幾個數據，代入求系數b的公式，求得結果，再把樣本中心點代入，求出a的值，得到線性回歸方程．

解答：解：①中，f′（x）=g′（x）+2x．
∵y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程為y=2x+1，
∴g′（1）=2，∴f′（1）=g′（1）+2×1=2+2=4，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處切線斜率為4，
故①錯誤．
②中，不等式（a-3）x²＜（4a-2）x即（x²-4x）a-3x²+2x＜0，
令g（a）=（x²-4x）a-3x²+2x，a∈（0，1）
由題意可得g（a）＜0在a∈（0，1）恒成立，結合一次函數的單調性可得

g(0)≤0 g(1)≤0

，即

-3x2+2x≤0 -2x2-2x≤0

，解不等式組可得x≤-1或x≥

2

3

，
∴x的取值范圍是(-∞，-1]∪[

2

3

，+∞)，
故②正確；
③中，∵變量X與Y相對應的一組數據為（10，1），（11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5），

.

X

=

10+11.3+11.8+12.5+13.5

5

11.72，

.

Y

=

1+2+3+4+5

5

=3，
∴這組數據的相關系數是r=

7.2

19.172

=0.3755，
變量U與V相對應的一組數據為 （10，5），（11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1）

.

V

=

5+4+3+2+1

5

=3，
∴這組數據的相關系數是-0.3755，
∴第一組數據的相關系數大于零，第二組數據的相關系數小于零，即r₂＜0＜r₁，
故③正確；
④中，由對照數據，計算得

4

i=1

xi2=86，

.

x

=

3+4+5+6

4

=4.5，

.

y

=

2.5+3+4+4.5

4

=3.5，

4

i=1

xiyi=66.5，4

.

x

.

•y

=63，4

.

x

2=81，
∴求得回歸方程的系數為b=0.7，a=0.35，
∴所求線性回歸方程為y=0.7x+0.35，
故④錯誤；
故選C．

點評：本題考查導數的幾何意義、函數的恒成立問題求解參數的取值、線性回歸方程的求解，考查了轉化思想，用相關系數來衡量兩個變量之間相關關系，當相關系數為正時，表示兩個變量正相關，也利用散點圖判斷兩個變量之間是否有相關關系，本題涉及考點較多，綜合性較強．