Question

如圖，已知：橢圓的中心為，長軸的兩個端點為，右焦點為，．若橢圓經過點，在上的射影為，且△的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知圓：=1，直線=1，試證明：當點在橢圓上
運動時，直線與圓恒相交；并求直線被圓截得的弦長的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析，弦長的取值范圍為[]

試題分析：（Ⅰ）由題意設橢圓方程為，半焦距為，
由，且∴ ，得.（1）
由題意，設點坐標，在上，代入得 ∴． 由△ABC的面積為5，得，=5.（2）
解（1）（2）得 ∴=9—4=5．
∴所求橢圓的方程為：．                                ……6分
(Ⅱ) 圓到直線=1距離，
由點在橢圓上，則，
顯然，∴1，>1,
∴，
而圓的半徑為1，直線與圓恒相交．                              ……12分
弦長=2=2,由得，
∴, =2,
，∴，，∴ ，
弦長的取值范圍是[]．                                    ……16分
點評：判斷直線與圓的位置關系，首先要用圓心到直線的距離和半徑比較大小，而不要用代數法，另外弦長公式運算比較復雜，要仔細計算.