Question

解答題（本題共10分．請寫出文字說明, 證明過程或演算步驟）：
已知是橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的兩焦點(diǎn)，且滿足
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)、是橢圓上任兩點(diǎn)，且直線、的斜率分別為、，若存在常數(shù)使，求直線的斜率.

Answer 1

（I）；（II）。

試題分析：(I)根據(jù),可知a=2,所以再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入橢圓方程求出b的值，求出橢圓的方程.
（II）設(shè)直線AC的方程：，由，得：
點(diǎn)C，同理求出D的坐標(biāo)，再利用斜率公式即可證明CD的斜率為定值.
（I）所求橢圓方程…………………3分；
（II）設(shè)直線AC的方程：，由，得：
點(diǎn)C…………………………..5分；
同理 ………………………..6分；
 
……………………8分；
要使為常數(shù)， +（1-）=0，
得…………………………10分.
點(diǎn)評：橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為定值，也就是常數(shù)2a,再根據(jù)其它條件建立關(guān)于b的方程，求出b即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
在證明CD的斜率為定值時(shí)，關(guān)鍵是求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，需要用直線方程與橢圓方程聯(lián)立求解.