Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點．

（1）求證：MN∥平面PAB；
（2）若平面PDA與平面ABCD成60°的二面角，求該四棱錐的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取PB的中點O，連接ON，OA，

∵O，N分別是PB，PC的中點，

∴ON∥BC，ON= BC

又AD∥BC，AM= AD，

∴ON∥AM，ON=AM．

∴四邊形MNOA為平行四邊形．

∴MN∥AO

而MN平面PAB，AO平面PAB

∴MN∥平面PAB

（2）解：∵PB⊥平面ABCD，AD平面ABCD，

∴PB⊥AD，

又AB⊥AD，AB∩PB=B，

∴AD⊥面PAB，

∴AD⊥PA．

∴∠PAB為平面PDA與平面ABCD成二面角的平面角，

∴∠PAB=60°，

在RT△PBA中，PB=tan∠PABAB= a，

∴VP﹣ABCD= SABCD×PB= ×a2× a=

【解析】（1）取PB的中點O，連接ON，OA，通過證明四邊形MNOA為平行四邊形．得出MN∥AO，根據判定定理即可證明．（2）容易得出∠PAB為平面PDA與平面ABCD成二面角的平面角，在RT△PBA中，求出椎體的高PB，利用錐體體積公式計算即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．