Question

【題目】已知O為坐標原點，設動點M（2，t）（t＞0）．
（1）若過點P（0，4 ）的直線l與圓C：x2+y2﹣8x=0相切，求直線l的方程；
（2）求以OM為直徑且被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設A（1，0），過點A作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C：x2+y2﹣8x=0化為（x﹣4）2+y2=16，得到圓心C（4，0），半徑r=4．

斜率不存在時，x=0滿足題意；

斜率存在時，設切線方程為y=kx+4 ，即kx﹣y+4 =0，

根據圓心到切線的距離等于半徑可得4= ，解得k=﹣ ，

故切線方程為y=﹣ x+4 ，

綜上所述，直線l的方程為y=﹣ x+4 或x=0

（2）解：以OM為直徑的圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣ ）= +1，

其圓心為（1， ），半徑r=

因為以OM為直徑的圓被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長為2

所以圓心到直線3x﹣4y﹣5=0的距離d= = ，解得t=4

所求圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2=5

（3）證明：設N（x0，y0），則 =（x0﹣1，y0）， =（2，t）， =（x0﹣2，y0﹣t）， =（x0，y0），

∵ ⊥ ，∴2（x0﹣1）+ty0=0，∴2x0+ty0=2，

又∵ ⊥ ，∴x0（x0﹣2）+y0（y0﹣t）=0，

∴x02+y02=2x0+ty0=2，

所以| |= = 為定值

【解析】（1）圓C：x2+y2﹣8x=0化為（x﹣4）2+y2=16，得到圓心C（4，0），半徑r=4，分類討論即可求直線l的方程；（2）設出以OM為直徑的圓的方程，變為標準方程后找出圓心坐標和圓的半徑，由以OM為直徑的圓被直線3x﹣4y﹣5=0截得的弦長，過圓心作弦的垂線，根據垂徑定理得到垂足為中點，由弦的一半，半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構成直角三角形，利用點到直線的距離公式表示出圓心到3x﹣4y﹣5=0的距離d，根據勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值，即可確定出所求圓的方程；（3）設出點N的坐標，由 ⊥ 得到兩向量的數量積為0，利用平面向量的數量積的運算法則表示出一個關系式，又 ⊥ ，同理根據平面向量的數量積的運算法則得到另一個關系式，把前面得到的關系式代入即可求出線段ON的長，從而得到線段ON的長為定值．