Question

【題目】已知函數，，函數在點處的切線與函數相切.

（1）求函數的值域；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用導數求出曲線在點處的切線方程，與函數的解析式聯立，由可求得的值，然后利用二次函數的基本性質可求得函數的值域；

（2）要證明，即證，即證，求出函數的最小值，并利用導數求出函數的最大值，由此可得出結論.

（1）切點，，則，.

所以，函數在點處的切線方程為，即.

函數在點處的切線與函數相切.

聯立，化為，

，，解得.

，所以，函數的值域為；

（2）要證，即證，即證.

設，，則函數的定義域為.

，.

當時，，此時，函數單調遞增；

當時，，此時，函數單調遞減.

所以，函數的最大值為.

所以，，但是函數的最小值和函數的最大值不在同一處取得，

因此，.