Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（t為參數，）．在以坐標原點為極點、x軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為．

（1）若點在直線l上，求線l的直角坐標方程和曲線C的直角坐標方程；

（2）已知，點P在直線l上，點Q在曲線C上，且的最小值為，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）直線l的直角坐標方程曲線C的直角坐標方程（2）

【解析】

（1）將直線l的參數方程，消去參數整理得到，再根據點直線l上，把點代入直角坐標方程求解.將曲線C的極坐標方程，利用二倍角公式轉化為，再將代入求解.

（2）根據點P在直線l上，點Q在曲線C上，且的最小值為，則直線與曲線相離，聯立，由及已知，解得a的范圍， 將曲線轉換為參數方程為（為參數），設，由點到直線的距離公式得到，然后利用正弦函數的性質求解.

（1）因為直線l的參數方程為（t為參數），

消去參數得：，

整理得：，

因為點直線l上，

把點代入直角坐標方程，解得．

所以直線的直角坐標方程為．

因為曲線C的極坐標方程為．

所以，

所以，

因為，

代入上式整理得：，

所以曲線C直角坐標方程為：．

（2）聯立，得，

由得：或，

又，∴．

曲線的參數方程為（為參數），

設，

所以：

所以當時，，

解得：或，

又，∴．