Question

【題目】某地開發一片荒地，如圖，荒地的邊界是以C為圓心，半徑為1千米的圓周.已有兩條互相垂直的道路OE，OF，分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點A，B.現規劃修建一條新路（由線段MP，，線段QN三段組成），其中點M，N分別在OE，OF上，且使得MP，QN所在直線分別與荒地的邊界有且僅有一個接觸點P，Q，所對的圓心角為.記∠PCA＝（道路寬度均忽略不計）.

（1）若，求QN的長度；

（2）求新路總長度的最小值.

Answer 1

【答案】（1）QN的長度為1千米（2）

【解析】

（1）連接，通過切線的幾何性質，證得四邊形是正方形，由此求得的長度.

（2）用表示出線段，，線段的長，由此求得新路總長度的表達式，利用基本不等式求得新路總長度的最小值.

（1）連接CB，CN，CM，OM⊥ON，OM，ON，PM，QN均與圓C相切

∴CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，∴CB⊥CA

∵∠PCA＝，∠PCQ＝，∴∠QCB＝，

此時四邊形BCQN是正方形，∴QN＝CQ＝1，

答：QN的長度為1千米；

（2）∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ＝，

則MP＝，，NQ＝

設新路長為，其中(，)，即

∴，

，當時取“＝”，

答：新路總長度的最小值為.