Question

已知圓G：x²+y²-2

2

x-2y=0經(jīng)過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)及上頂點(diǎn)．過(guò)橢圓外一點(diǎn)M（m，0）（m＞a），傾斜角為

2

3

π的直線l交橢圓于C，D兩點(diǎn)，若點(diǎn)N（3，0）在以線段CD為直徑的圓E的外部，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由圓的方程與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到橢圓的半焦距及半短軸長(zhǎng)，結(jié)合a²=b²+c²求得半長(zhǎng)軸長(zhǎng)，可求橢圓的方程；設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求出m的初步范圍，再設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)N（3，0）在以線段CD為直徑的圓E的外部，轉(zhuǎn)化為

NC

•

ND

＞0求解m的范圍，最后取交集得答案．

解答： 解：∵圓G：x²+y²-2

2

x-2y=0與x軸、y軸交點(diǎn)為（2

2

，0），和（0，2），
∴c=2

2

，b=2，
∴a²=b²+c²=12，
∴橢圓方程為：

x2

12

+

y2

4

=1，
設(shè)直線l的方程為：y=-

3

(x-m)，(m＞2

3

)
由

y=- 3 (x-m) x2 12 + y2 4 =1

可得：10x²-18mx+9m²-12=0．
由△=324m²-40（9m²-12）＞0，
可得：-

2 30

3

＜m＜

2 30

3

，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
x1+x2=

9m

5

，x1•x2=

9m2-12

10

，

NC

•

ND

=（x1-3，y1）•（x2-3，y2）=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂
=4x1x2-（3m+3）（x1+x2）+9+3m2＞0．
化簡(jiǎn)得：2m²-9m+7＞0，解得：m＞

7

2

∴m的取值范圍是(

7

2

，

2 30

3

)，
故答案為：(

7

2

，

2 30

3

)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用向量法求解與圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題，“設(shè)而不求”的解題思想使問(wèn)題的求解得到了簡(jiǎn)化，是高考試卷中的壓軸題．