Question

已知函數f（x）=Acosωx（ω＞0）的部分圖象如圖所示，且∠MQP=

π

6

，MQ=2

3

（1）求MP的長；
（2）求函數f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（1）由圖知，MP=PN=NQ，∠MQP=

π

6

，MQ=2

3

，利用余弦定理得MP²=MQ²+PQ²-2MQ•PQ•cos∠MQP，易求MP的長；
（2）依題意，可求得f（x）=

3

cos

πx

2

，利用正弦函數的單調性，解不等式2kπ≤

πx

2

≤2kπ+π，k∈Z，即可求得函數f（x）的單調遞減區間．

解答： 解：（1）結合函數f（x）圖象的對稱性易知：MP=PN=NQ…（1分）
MP²=MQ²+PQ²-2MQ•PQ•cos∠MQP，
即x2=(2

3

)2+(2x)2-2×2

3

×2xcos

π

6

，…（3分）
整理得x²-4x+4=0，解得x=2，故所求MP=2…（5分）
（2）由（1）知MP=2，PQ=4，MQ=2

3

，所以MP²+MQ²=PQ²，所以△MPQ是直角三角形，且∠MPN=

π

3

..（6分）
又由MP=PN=2，∠MPN=

π

3

知，△MPN是邊長為2的等邊三角形…（7分）
所以MN=2，所以T=

2π

ω

=4，解得ω=

π

2

又點P到x軸的距離為

3

，所以A=

3

，于是函數f(x)=

3

cos

πx

2

…（9分）
令2kπ≤

πx

2

≤2kπ+π，k∈Z，解得4k≤x≤4k+2，k∈Z（…11分）
故函數f（x）的單調遞減區間為[4k，4k+2]（k∈Z）…（14分）

點評：本題考查余弦定理的應用，考查函數的周期性、對稱性，突出考查正弦函數的單調性的應用，考查推理、識圖與運算能力，屬于中檔題．