Question

如圖，已知兩條拋物線E₁：y²=2p₁x（p₁＞0）和E₂：y²=2p₂x（p₂＞0），過原點O的兩條直線l₁和l₂，l₁與E₁，E₂分別交于A₁、A₂兩點，l₂與E₁、E₂分別交于B₁、B₂兩點．
（Ⅰ）證明：A₁B₁∥A₂B₂；
（Ⅱ）過O作直線l（異于l₁，l₂）與E₁、E₂分別交于C₁、C₂兩點．記△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂的面積分別為S₁與S₂，求

S1

S2

的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：向量與圓錐曲線

分析：（Ⅰ）由題意設出直線l₁和l₂的方程，然后分別和兩拋物線聯立求得交點坐標，得到

A1B1

，

A2B2

的坐標，然后由向量共線得答案；
（Ⅱ）結合（Ⅰ）可知△A₁B₁C₁與△A₂B₂C₂的三邊平行，進一步得到兩三角形相似，由相似三角形的面積比等于相似比的平方得答案．

解答： （Ⅰ）證明：由題意可知，l₁和l₂的斜率存在且不為0，
設l₁：y=k₁x，l₂：y=k₂x．
聯立

y=k1x y2=2p1x

，解得A1(

2p1

k12

，

2p1

k1

)．
聯立

y=k1x y2=2p2x

，解得A2(

2p2

k12

，

2p2

k1

)．
聯立

y=k2x y2=2p1x

，解得B1(

2p1

k22

，

2p1

k2

)．
聯立

y=k2x y2=2p2x

，解得B2(

2p2

k22

，

2p2

k2

)．
∴

A1B1

=2p1(

1

k22

-

1

k12

，

1

k2

-

1

k1

)，

A2B2

=2p2(

1

k22

-

1

k12

，

1

k2

-

1

k1

)．

A1B1

=

p1

p2

A2B2

，
∴A₁B₁∥A₂B₂；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A₁B₁∥A₂B₂，
同（Ⅰ）可證B₁C₁∥B₂C₂，A₁C₁∥A₂C₂．
∴△A₁B₁C₁∽△A₂B₂C₂，
因此

S1

S2

=(

| A1B1 |

| A2B2 |

)2，
又

A1B1

=

p1

p2

A2B2

，
∴

| A1B1 |

| A2B2 |

=

p1

p2

．
故

S1

S2

=

p12

p22

．

點評：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，考查了向量共線的坐標表示，訓練了三角形的相似比與面積比的關系，考查了學生的計算能力，是壓軸題．