Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓（）與直線： （），四點， ， ， 中有三個點在橢圓上，剩余一個點在直線上.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若動點在直線上，過作直線交橢圓于， 兩點，使得，再過作直線，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：(1)判斷點， ,點在橢圓C上,點在直線上,代入橢圓方程,即可求出橢圓的方程;
(2)分類討論,利用點差法求出直線的方程,可得直線恒過定點.

試題解析：（Ⅰ）解：由題意有3個點在橢圓C上，

根據橢圓的對稱性，則點， 一定在橢圓C上，

即，①

若點在橢圓C上，

則點必為橢圓C的左頂點，

而，則點一定不在橢圓C上，

故點在橢圓C上，點在直線l上，

所以，②

聯立①②可解得， ，

所以橢圓C的方程為．

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得直線l的方程為，

設， ，

當時，設， ，顯然，

聯立

則，即，

又，即P為線段MN的中點，

故直線MN的斜率為，

又，所以直線的方程為，

即，

顯然恒過定點；

當時，直線MN即，此時為x軸亦過點，

綜上所述， 恒過定點．

點睛:定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點、定值顯現.