Question

【題目】對于任意實數x，符號[x]表示不超過x的最大整數，如[2.2]=2，[﹣3.5]=﹣4，設數列{an}的通項公式為an=[log21]+[log22]+[log23]+…[log2（2n﹣1）]．
（1）求a1a2a3的值；
（2）是否存在實數a，使得an=（n﹣2）2n+a（n∈N*），并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解： a1=[log21]=0，a2=[log21]+[log22]+[log23]=0+1+1=2，

a3=[log21]+[log22]+[log23]+…+[log27]=0+1+1+2+2+2+2=10．

∴a1a2a3=0．

（2）解：當2n﹣1≤x≤2n﹣1時，[log2x]=n﹣1．

∴[log22n﹣1]+[log22n﹣1+1]+[log22n﹣1+2]+…+[log2（2n﹣1）]=（n﹣1）（2n﹣1﹣2n﹣1+1）=2n﹣1（n﹣1）．

∴an=10+21+222+233+…+2n﹣1（n﹣1），①

∴2an=221+232+243+…+2n（n﹣1），②

②﹣①得：an=﹣22﹣23﹣24﹣…﹣2n﹣1+2n（n﹣1）﹣2

=﹣ +2n（n﹣1）﹣2

=2n（n﹣2）+2．

又an=（n﹣2）2n+a，

∴a=2．

【解析】（1）計算a1=0，故a1a2a3=0；（2）根據對數性質得出an=10+21+222+233+…+2n﹣1（n﹣1），使用錯位相減法求出an ， 得出a的值．
【考點精析】掌握數列的前n項和和數列的通項公式是解答本題的根本，需要知道數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．