Question

已知橢圓的對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點和兩個焦點的連線構成一個正三角形，且焦點到橢圓上的點的最短距離為

3

，則橢圓的方程為（　　）

• A、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1
• B、

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1或

  x2

  12

  +

  y2

  3

  =1
• C、

  x2

  12

  +

  y2

  3

  =1
• D、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1或

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1

Answer 1

分析：根據題意，在正三角形中得到基本量a，b，c之間的關系，結合焦點到橢圓上的點的最短距離為a-c，故可求得基本量a，b的值，因為不能確定焦點的位置，故標準方程有兩個．

解答：解：根據短軸的一個端點和兩個焦點的連線構成一個正三角形，
則有b=

3

2

a，c=

1

2

a，
又∵焦點到橢圓上的點的最短距離為

3

，
∴a-c=

3

，
故a=2

3

，則b=3，
∴橢圓的方程為

x2

12

+

y2

9

=1或

x2

9

+

y2

12

=1．
故選：D．

點評：本題考查了橢圓的標準方程的求解．求橢圓標準方程要注意以下一個步驟：（1）先確定焦點的位置，確定標準方程的形式，（2）確定基本量a，b，c的值，（3）寫出標準方程．解題時要注意根據題意能否確定焦點的位置，如果不能確定一般分類討論．屬于中檔題．