Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點A(2,0),離心率為,直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.
(1)求橢圓C的方程.
(2)當△AMN的面積為時,求k的值.

Answer 1

(1) +=1    (2) k=±1

(1)a=2,e==,c=,b=,
橢圓C:+=1.
(2)設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),則由,消y得
(1+2k²)x²-4k²x+2k²-4=0,
∵直線y=k(x-1)過橢圓內點(1,0),
∴Δ>0恒成立,
由根與系數的關系得
x₁+x₂=,x₁x₂=,
S_△AMN=×1×|y₁-y₂|=×|kx₁-kx₂|
===.
即7k⁴-2k²-5=0,解得k=±1.