Question

已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=,a²與b²的等差中項為.
(1)求橢圓E的方程.
(2)A,B是橢圓E上的兩點,線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(t,0),求實數t的取值范圍.

Answer 1

(1) +=1   (2) (-,)

(1)由題意得
解得:.即橢圓E的方程為+=1.
(2)設A,B的坐標分別為(x₁,y₁),(x₂,y₂).
因線段AB的垂直平分線與x軸相交,
故AB不平行于y軸,即x₁≠x₂.
又交點為P(t,0),故|PA|=|PB|,
即(x₁-t)²+=(x₂-t)²+,
∴t=+　①
∵A,B在橢圓上,∴=4-,=4-.
將上式代入①,得t=.
又∵-3≤x₁≤3,-3≤x₂≤3,且x₁≠x₂,
∴-6<x₁+x₂<6,則-<t<,
即實數t的取值范圍是(-,).