Question

設(shè)f（x）=x³-ax²-bx-c，x∈[-1，1]，記y=|f（x）|的最大值為M．
（Ⅰ）當(dāng)a=c=0，b=

3

4

時，求M的值；
（Ⅱ）當(dāng)a，b，c取遍所有實(shí)數(shù)時，求M的最小值．
（以下結(jié)論可供參考：對于a，b，c，d∈R，有|a+b+c+d|≤|a|+|b|+|c|+|d|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，c，d同號時取等號）

Answer 1

分析：（I）先求導(dǎo)，得f′(x)=3x2-

3

4

=3(x-

1

2

)(x+

1

2

)，從而得出y=|f（x）|的最大值為：M=max{|f(-1)|，|f(-

1

2

)|，|f(

1

2

)|，|f(1)|}=

1

4

．
（II）由于4f(1)-4f(-1)=8-8b，8f(

1

2

)-8f(-

1

2

)=2-8b，且M≥|f(1)|；M≥|f(-1)|；M≥|f(

1

8

)|；M≥|f(-

1

8

)|利用絕對值不等式建立不等關(guān)系式，得出M≥

1

4

（-1≤x′≤1）．最后結(jié)合（1）可知M的最小值．

解答：解：（I）求導(dǎo)可得f′(x)=3x2-

3

4

=3(x-

1

2

)(x+

1

2

)，
M=max{|f(-1)|，|f(-

1

2

)|，|f(

1

2

)|，|f(1)|}=

1

4

，當(dāng)x=±1，±

1

2

時取等號．
（II）∵4f(1)-4f(-1)=8-8b，8f(

1

2

)-8f(-

1

2

)=2-8b，
∵M≥|f(1)|；M≥|f(-1)|；M≥|f(

1

8

)|；M≥|f(-

1

8

)|
∴24M≥4|f(1)|+4|f(-1)|+8|f(

1

2

)|+8|f(-

1

2

)|≥|4f(1)-4f(-1)-8f(

1

2

)+8f(-

1

2

)|=6
因此，M≥

1

4

（-1≤x′≤1）．
由（1）可知，當(dāng)a=0，b=

3

4

，c=0時，M=

1

4

．∴f(x)min=

1

4

．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、絕對值不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．