Question

已知a＞0，函數f（x）=x³-a，x∈[0，+∞），設x₁＞0，記曲線y=f（x）在點M（x₁，f（x₁））處的切線l．
（1）求l的方程；
（2）設l與x軸的交點是（x₂，0），證明x2≥a

1

3

．

Answer 1

分析：（1）欲求在點（1，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率，從而問題解決．
（2）先在直線的方程中令y=0得到的x₂值，欲證明x2≥a

1

3

．利用作差比較法即可．即利用因式分解的方法證x₂-a

1

3

≥0即可．

解答：解：（1）解：f'（x）=3x²（x＞0）．∵切線l經過曲線f（x）=x³-a上的點M（x₁，f（x₁）），
又∵切線l的斜率為k=f'（x₁）=3x₁²．
據點斜式，得y-f（x₁）=f'（x₁）（x-x₁），
整理，得y=3x₁²•x-2x₁²-a，x₁＞0．
因此直線l的方程為y=3x₁²x-2x₁³-a（x₁＞0）；
（2）證明：∵l與x軸交點為（x₂，0），∴3x₁²x₂-2x₁²-a=0，∵x₁＞0，a＞0，
∴x2=

1

3

(2x1+

a

x 2 1

)．
由于x2-a

1

3

=

1

3 x 2 1

(2

x

3 1

+a-3

x

2 1

•a

1

3

)=

1

3 x 2 1

(x1-a

1

3

)2(2x1+a

1

3

)，
且x₁＞0，a＞0，∴2x1+a

1

3

＞0．
又(x1-a

1

3

)2≥0，∴x2-a

1

3

≥0，
當且僅當x1=a

1

3

，上式取“=”號．

點評：本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識，考查運算求解能力．屬于基礎題．