Question

設f（x）=x³（x∈R），若0≤θ＜

π

2

時，f（m•sinθ）+f（2-m）＞0恒成立，則實數m的取值范圍是（　�。�

A．（0，2）

B．（-∞，0）

C．（-∞，1）

D．（-∞，2）

Answer 1

分析：利用函數f（x）=x³（x∈R）的奇偶性單調性把不等式f（m•sinθ）+f（2-m）＞0轉化為m•sinθ＞m-2，進一步分離參數轉化為函數的最值問題解決．

解答：解：易知函數f（x）=x³為R上的奇函數，且單調遞增，
f（m•sinθ）+f（2-m）＞0可化為f（m•sinθ）＞-f（2-m）．
因為f（x）為奇函數，所以f（m•sinθ）＞f（m-2），又f（x）單調遞增，所以msinθ＞m-2，m＜

2

1-sinθ

．
則0≤θ＜

π

2

時f（m•sinθ）+f（2-m）＞0恒成立，等價于當0≤θ＜

π

2

時m＜

2

1-sinθ

恒成立，
當0≤θ＜

π

2

時，

2

1-sinθ

≥2，所以m＜2．
故選D．

點評：本題考查了函數的奇偶性單調性、不等式恒成立問題，對于不等式恒成立問題往往轉化為最值問題進行解決．