Question

設f（x）=x³-

x2

2

-2x+a，
（1）求函數f（x）的單調遞增、遞減區間；
（2）若函數f（x）在區間[-1，2]上的最大值與最小值的和為5，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，解出函數的零點，由導函數的零點對函數的定義域分段，判斷導函數在各區間段內的符號，從而得出原函數的單調區間；
（2）由（1）求出的函數的單調區間，分析函數在區間[-1，2]上的單調性，從而求出函數在區間[-1，2]上的極值進而得到函數在區間[-1，2]上的最值，把求出的最值求和值為5，即可求得a的值．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1）…（2分）
令f′（x）=0，得x=-

2

3

或x=1
當x＜-

2

3

或x＞1時，f′（x）＞0； 當-

2

3

＜x＜1時，f′（x）＜0…（4分）
所以，函數f（x）的單調遞增區間是(-∞，-

2

3

]，[1，+∞）；…（6分）
函數f（x）的單調遞減區間是[-

2

3

，1]…（7分）
（2）由（1）知，f（x）在區間[-1，2]上的極大值為f(-

2

3

)=

22

27

+a，
極小值為f(1)=-

3

2

+a，…（9分）
而f(-1)=

1

2

+a，f（2）=2+a
所以，f（x）在[-1，2]上的最大值為f（2）=2+a，最小值為f(1)=-

3

2

+a，…（12分）
由題意得，(2+a)+(-

3

2

+a)=5，∴a=

9

4

…（14分）

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，訓練了利用導數求函數在閉區間上的最值的方法，
求函數在閉區間上的最值，應比較極值與端點值．此題是中檔題．