Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，對一切正整數n，點P_n(n，S_n)都在函數f(x)＝x²＋2x的圖象上，且在點P_n(n，S_n)處的切線的斜率為k_n.
(1)求數列{a_n}的通項公式；
(2)若b_n＝2k_na_n，求數列{b_n}的前n項和T_n.

Answer 1

（1）a_n＝2n＋1（2）T_n＝·4^n＋2－

(1)∵點P_n(n，S_n)在函數f(x)＝x²＋2x的圖象上，
∴S_n＝n²＋2n(n∈N^*)，當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2n＋1，當n＝1時，a₁＝S₁＝3滿足上式，所以數列{a_n}的通項公式為a_n＝2n＋1.
(2)由f(x)＝x²＋2x，求導得f′(x)＝2x＋2.
∵在點P_n(n，S_n)處的切線的斜率為k_n，
∴k_n＝2n＋2，∴b_n＝2k_na_n＝4·(2n＋1)·4ⁿ，
∴T_n＝4×3×4＋4×5×4²＋4×7×4³＋…＋4×(2n＋1)×4ⁿ，用錯位相減法可求得T_n＝·4^n＋2－.