Question

設為數列的前項和，對任意的，都有為常數，且.
（1）求證：數列是等比數列；
（2）設數列的公比，數列滿足，，求數列的通項公式；
（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前項和.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

試題分析：（1）用公式將化簡可得間的關系，根據等比數列的定義可證得數列是等比數列。（2）屬構造法求數列通項公式：因為，所以，將其取倒數可推導出，根據等差數列的定義可知為等差數列，先求的通項公式，再求。（3）因為得通項公式為等差乘以等比數列所以應用錯位相減法求數列的前項和。將表示為各項的和，然后將上式兩邊同時乘以通項公式里邊等比數列的公比，但應將第一位空出，然后兩式相減即可。
試題解析：（1）證明：當時，，解得．  1分
當時，．即    2分
∵為常數，且，∴．      3分
∴數列是首項為1，公比為的等比數列．          4分
（2）解：由（1）得，，．
∵， ∴，即．   7分
∴是首項為，公差為1的等差數列．             8分
∴，即（）．        9分
（3）解：由（2）知，則．       10分
所以，
即，    ①     
則 ②
②－①得，
    
．                                14分