Question

【題目】某企業(yè)要設(shè)計(jì)制造一批大小、規(guī)格相同的長(zhǎng)方體封閉水箱，已知每個(gè)水箱的表面積為432（每個(gè)水箱的進(jìn)出口所占面積與制作材料的厚度均忽略不計(jì)）．每個(gè)長(zhǎng)方體水箱的底面長(zhǎng)是寬的2倍．現(xiàn)設(shè)每個(gè)長(zhǎng)方體水箱的底面寬是，用表示每個(gè)長(zhǎng)方體水箱的容積．

（1）試求函數(shù)的解析式及其定義域；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1），定義域?yàn)?/span>；（2）當(dāng)時(shí)，有最大值，為576．

【解析】

（1）由題意得長(zhǎng)方體的高 ，根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式可得，然后根據(jù)實(shí)際情況得到定義域．（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得最值．

（1）依題意，每個(gè)長(zhǎng)方體水箱的底面寬是，則長(zhǎng)是，設(shè)其高為，

所以其表面積為，

解得 ，

所以，

由，解得，

所以函數(shù)的定義域?yàn)?/span>．

（2）由（1）知 ，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

故當(dāng)時(shí)，．