Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是梯形，,,是正三角形，為的中點，平面平面．

（1）求證：平面；

（2）在棱上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見證明（2）見解析

【解析】

（1）先證，由平面平面，可得平面；（2）以點為原點，分別以射線為軸，軸，軸正半軸，建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，設，用含的式子求出平面和平面的法向量，由二面角的余弦值為列方程解出，從而得出的值.

（1）證明：因為，且，

所以四邊形是平行四邊形，

從而，且，

又在正三角形中，，

從而在中，滿足，

所以，

又平面平面，平面平面，平面．

所以平面，

（2）由（1）知，且，，平面，

從而平面，

又平面，平面，所以，

以點為原點，分別以射線為軸，軸，軸正半軸，建立空間直角坐標系，，

假設在棱上存在點滿足題意，

設，則，

，

設平面的法向量，則，

取得，得，

有平面的一個法向量，所以，

從而，，，

因為，所以，

所以在棱上存在點使得二面角的余弦值為，且．