Question

【題目】如圖（1），在平面五邊形中，已知四邊形為正方形，為正三角形.沿著將四邊形折起得到四棱錐，使得平面平面，設在線段上且滿足，在線段上且滿足，為的重心，如圖（2）.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點，的中點，連接，可知三點共線，三點共線.，因而可得為的重心，再利用線面平行的判定，及可證出；

（2）根據條件，通過面面垂直的性質，證出平面，建立空間直角坐標系，標點，求及平面的法向量為，通過利用空間向量法求出線面角.

（1）如圖，取的中點，的中點，連接.

由已知易得三點共線，三點共線.

因為，，所以.

又為的重心，所以，

所以.

因為平面，平面，

所以平面.

（2）在中，因為為的中點，所以.

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

由（1）得，.

所以兩兩垂直，如圖，

分別以射線的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系.

設，因為，，所以，

所以，.

所以，，，.

所以，，.

設平面的法向量為，則

所以令，則，所以可取.

設直線與平面所成的角為，則

.