Question

（本小題滿分12分）
已知數(shù)列中，，，且．
（1）設(shè)，求是的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）若是與的等差中項(xiàng)，求的值，并證明：對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)．

Answer 1

（1）
（2）
（3）證明三項(xiàng)構(gòu)成等差中項(xiàng)的性質(zhì)，只要利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)分析可得。

試題分析：（1）證明：由題，得，
,．又，，   
所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．                              
                                                   
（2）解：由（Ⅰ），，，……,．
將以上各式相加，得．                     
所以當(dāng)時(shí)，                             
上式對(duì)顯然成立．                                                   
（3）解：由（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，顯然不是與的等差中項(xiàng)，故． 
由可得，由得  ，     ①       
．于是．                                 
另一方面，
，．
由①可得．
所以對(duì)任意的，是與的等差中項(xiàng)． 
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于數(shù)列的公式的熟練運(yùn)用，等比數(shù)列和累加法思想的運(yùn)用，屬于中檔題。易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)于公比的討論容易忽略。