Question

（本小題滿分14分）
已知數列滿足：（其中常數）．
（Ⅰ）求數列的通項公式；
（Ⅱ）求證：當時，數列中的任何三項都不可能成等比數列；
（Ⅲ）設為數列的前項和．求證：若任意，

Answer 1

（1）a_n＝(2n＋1)·λ^n－1 (n∈N^*)．（2）運用反證法思想 ，假設存在a_r，a_s，a_t成等比數列，然后推理論證得出矛盾。
（3）運用數列的通項公式以及數列的錯位相減法的求和來證明，不等式的成立。

試題分析：解：（Ⅰ）當n＝1時，a₁＝3．
當n≥2時，因為，             ①
所以．           ②
①－②得，所以a_n＝(2n＋1)·λ^n－1（n≥2，n∈N^*）．……………… 3分
又 a₁＝3也適合上式，
所以a_n＝(2n＋1)·λ^n－1 (n∈N^*)．                          …………………… 4分
（Ⅱ）當λ＝4時，a_n＝(2n＋1)·4^n－1．
（反證法）假設存在a_r，a_s，a_t成等比數列，
則[(2r＋1)·4^r－1]· [(2t＋1)·4^t－1]＝(2s＋1)²·4^2s－2．
整理得(2r＋1) (2t＋1) 4 ^r＋t－2s＝(2s＋1)²．     
由奇偶性知r＋t－2s＝0．
所以(2r＋1) (2t＋1)＝(r＋t＋1)²，即(r－t)²＝0．這與r≠t矛盾，
故不存在這樣的正整數r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數列．        ……… 8分
（Ⅲ）S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋(2n＋1)λ^n－1．
當λ＝1時，S_n＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n²＋2n．                  ………… 10分
當λ≠1時，S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋(2n＋1)λ^n－1，
λS_n＝   3λ＋5λ²＋…＋(2n－1)λ^n－1＋(2n＋1)λⁿ．
(1－λ)S_n＝3＋2(λ＋λ²＋λ³＋＋…＋λ^n－1)－(2n＋1)λⁿ＝3＋2×－(2n＋1)λⁿ
①當λ＝1時，左＝(1－λ)S_n＋λa_n＝a_n＝2n＋1≥3，結論顯然成立；
②當λ≠1時，左＝(1－λ)S_n＋λa_n＝3＋2× －(2n＋1)λⁿ＋λa_n
＝3＋2× 
而，和同號，故≥0
∴ 對任意都成立                        ………… 14分
點評：解決該試題的關鍵是利用數列的整體思想來求解通項公式，以及結合錯位相減法求和得到證明，屬于中檔題。