Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是CD、A₁D₁中點．
 
(1)求證：AB₁⊥BF；
(2)求證：AE⊥BF；
(3)棱CC₁上是否存在點F，使BF⊥平面AEP，若存在，確定點P的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）P是CC₁的中點．

(1)證明：連結A₁B，CD₁，∵AB₁⊥A₁B，AB₁⊥BC，A₁B∩BC＝B，
∴AB₁⊥平面A₁BCD₁，又BF平面A₁BCD₁，所以AB₁⊥BF.
(2)證明：取AD中點M，連結FM，BM，∴AE⊥BM，
又∵FM⊥AE，BM∩FM＝M，∴AE⊥平面BFM，又BF平面BFM，∴AE⊥BF.
(3)解：存在，P是CC₁的中點．易證PE∥AB₁，故A、B₁、E、P四點共面．
由(1)(2)知AB₁⊥BF，AE⊥BF，AB₁∩AE＝A，∴BF⊥平面AEB₁，即BF⊥平面AEP.