Question

正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，已知AB＝A₁A，D為C₁C的中點，O為A₁B與AB₁的交點．
 
(1)求證：AB₁⊥平面A₁BD；
(2)若點E為AO的中點，求證：EC∥平面A₁BD.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

證明：(1)連結DA、DB₁、DO.
∵AB＝A₁A，D為C₁C的中點，
而DB₁＝，DA＝，∴DB₁＝DA.
又O是正方形A₁ABB₁對角線的交點，∴DO⊥AB₁.
又A₁B⊥AB₁，A₁B∩DO＝O，∴AB₁⊥平面A₁BD.
(2)取A₁O的中點F，在△A₁OA中，
∵E是OA中點，∴EF∥= AA₁.
又D為C₁C的中點，∴CD∥= AA₁.
∴EF∥=CD，故四邊形CDFE是平行四邊形．∴CE∥DF.
又DF平面A₁BD，CE平面A₁BD，∴EC∥平面A₁BD.