Question

如圖,在長方體中,,為的中點,為的中點.

(I)求證:平面;
(II)求證:平面;
(III)若二面角的大小為,求的長.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（III）.

試題分析：（Ⅰ）證明平面，就是證明平面，只需證明與平面內的兩條直線垂直，即可證明平面；（Ⅱ）證明平面，只需證明與平面的一條直線平行，這里采用證明平行四邊形的目的來證明與平面的一條直線平行；（III）借助空間向量法計算當為時的長.
試題解析：(I)證明:在長方體中,
因為平面,所以.
因為,所以四邊形為正方形,因此,
又,所以平面.
又,且,
所以四邊形為平行四邊形.
又在上,所以平面.
4分
(II)取的中點為,連接.
因為為的中點,所以且,
因為為的中點,所以,
而,且,
所以,且,
因此四邊形為平行四邊形,
所以,而平面,
所以平面.
9分
(III)如圖,以為坐標原點,建立空間直角坐標系,設,

則,
故.
由(I)可知平面,所以是平面的一個法向量.
設平面的一個法向量為,則,
所以
令,則,所以.
設與所成的角為,則.
因為二面角的大小為,
所以,即,
解得,
即的長為1.                       14分