Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1(x≤0) f(x-1)+1(x＞0)

，把函數(shù)g（x）=f（x）-x的零點(diǎn)按從小到的順序排列成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為

 

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Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的定義，構(gòu)造兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)，再通過數(shù)列及通項(xiàng)公式的概念得所求的解．

解答：解：當(dāng)x∈（-∞，0]時(shí)，由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x=x+1．令y=2^x，y=x+1．在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（-∞，0]上的圖象，由圖象易知交點(diǎn)為（0，1），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=0．
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，x-1∈（-1，0]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-1，由g（x）=f（x）-x=2^x-1-x=0，得2^x-1=x．令y=2^x-1，y=x．在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（0，1]上的圖象，由圖象易知交點(diǎn)為（1，1），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=1．
當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，x-1∈（0，1]，f（x）=f（x-1）+1=2^x-1-1+1=2^x-2+1，由g（x）=f（x）-x=2^x-2+1-x=0，得2^x-2=x-1．令y=2^x-2，y=x-1．在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)在區(qū)間（1，2]上的圖象，由圖象易知交點(diǎn)為（2，1），故得到函數(shù)的零點(diǎn)為x=2．
依此類推，當(dāng)x∈（2，3]，x∈（3，4]，…，x∈（n，n+1]時(shí)，構(gòu)造的兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)依次為
（3，1），（4，1），…，（n+1，1），得對(duì)應(yīng)的零點(diǎn)分別為x=3，x=4，…，x=n+1．
故所有的零點(diǎn)從小到大依次排列為0，1，2，…，n+1．其對(duì)應(yīng)的數(shù)列的通項(xiàng)公式為a_n=n-1．
故答案為：a_n=n-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的概念及零點(diǎn)的求法、數(shù)列的概念及簡單表示；培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、推理的能力；解題中使用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想．