Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓，如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點.

（1）求的最小值；

（2）若，求證：直線過定點.

Answer 1

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】試題分析：（1）設，聯立直線和橢圓方程，消去，得到關于的一元二次方程，利用韋達定理，求出點的坐標和所在直線方程，求點 的坐標，利用基本不等式即可求得 的最小值；
（2）由（1）知所在直線方程，和橢圓方程聯立，求得點的坐標，并代入 ，得到 ，因此得證直線過定點；

試題解析：（1）設直線 的方程為，由題意， ，

由方程組，得，

由題意，所以，

設，

由根與系數的關系得，所以，

由于為線段的中點，因此，

此時，所以所在直線的方程為，

又由題意知，令，得，即，

所以，當且僅當時上式等號成立，

此時由得，因此當且時， 取最小值.

（2）證明：由（1）知所在直線的方程為，

將其代入橢圓的方程，并由，解得，

又，

由距離公式及得

， ，

，

由，得，

因此直線的方程為，所以直線恒過定點.