Question

【題目】如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球半徑為（ ）

A.2
B.
C.
D.2

Answer 1

【答案】C
【解析】
解：由三視圖知幾何體是三棱錐A﹣BCD，為棱長為4的正方體一部分，
直觀圖如圖所示：

由正方體的性質可得，AB=AD=BD=4 ，
AC=BC= =2 ，CD= =6，
設三棱錐C﹣ABD的外接球球心是O，設半徑是R，
取AB的中點E，連接CE、DE，如圖所示：

設OA=OB=OC=OD=R，△ABD是等邊三角形，
∴O在底面△ABD的射影是△ABD中心F，
∵DE⊥BE，BE=2 ，∴DE= = ，
同理可得，CE=2 ，則滿足CE2+DE2=CD2 ， 即CE⊥DE，
在RT△CED中，設OF=x，
∵F是等邊△ABD的中心，
∴ ，
，
則 ，
∴ ，解得x= ，
代入其中一個方程得，R= = = ，
∴該四面體的外接球半徑是 ，
故選：C．
根據三視圖知幾何體是三棱錐為棱長為4的正方體一部分，畫出直觀圖，由正方體的性質求出棱長、判斷出各面形狀，畫出三棱錐C﹣ABD以及外接球，由△ABD是等邊三角形，判斷出球心O在△ABD的射影的位置，判斷線與線的位置關系，設出未知數畫出平面圖形，利用勾股定理列出方程組，求出該四面體的外接球半徑．