Question

曲線C上任一點到定點(0，)的距離等于它到定直線的距離.
(1)求曲線C的方程；
(2)經過P(1,2)作兩條不與坐標軸垂直的直線分別交曲線C于A、B兩點，且⊥，設M是AB中點，問是否存在一定點和一定直線，使得M到這個定點的距離與它到定直線的距離相等.若存在，求出這個定點坐標和這條定直線的方程.若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）y=2x²；
（2）M軌跡是拋物線，故存在一定點和一定直線，使得M到定點的距離等于它到定直線的距離。所求的定點為，定直線方程為y=.

試題分析：
思路分析：（1）曲線C上任一點到定點(0，)的距離等于它到定直線的距離.所以，由拋物線的定義，其方程為，而，所以，y=2x²；
（2）利用“參數法” 得到y=4x²+4x+，根據圖象的平移變換得到結論：定點為，定直線方程為y=.
解：（1）因為，利用拋物線的定義，確定得到y=2x²；
（2）設：y-2=k(x-1)(k≠0) :y=2=
由得2x²-kx+k-2=0
同理得B點坐標為
∴
消去k得：y=4x²+4x+ ………9分
M軌跡是拋物線，故存在一定點和一定直線，使得M到定點的距離等于它到定直線的距離。將拋物線方程化為，此拋物線可看成是由拋物線左移個單位，上移個單位得到的，而拋物線的焦點為(0，)，準線為y=-.∴所求的定點為，定直線方程為y=.
點評：難題，利用“直接法”可確定得到拋物線方程。利用“參數法”求得拋物線方程，通過研究焦點、準線等，達到確定“存在性”的目的。