Question

已知拋物線()上一點到其準線的距離為.

（Ⅰ）求與的值；
（Ⅱ）設拋物線上動點的橫坐標為（）,過點的直線交于另一點，交軸于點（直線的斜率記作）.過點作的垂線交于另一點.若恰好是的切線，問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）定值

試題分析：（Ⅰ）由拋物線方程得其準線方程：，點到其準線的距離即，解得，拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得.      
（Ⅱ）由題意知，過點的直線斜率不為，
則，當 時， ，則.
聯立方程，消去，得 ，
解得或，，
而，直線斜率為，
，聯立方程
消去，得 ，
解得：，或，
，
所以，拋物線在點處切線斜率：，
于是拋物線在點處切線的方程是：
，①
將點的坐標代入①，得 ，
因為，所以，故，
整理得，
即為定值.
點評：第一問的求解采用拋物線定義：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，較簡單，第二問直線與拋物線相交為背景，常聯立方程組轉化，本題第二問計算量較大，學生在數據處理時可能出問題