Question

已知函數,.
(1)求函數的極值；(2)若恒成立,求實數的值；
(3)設有兩個極值點、(),求實數的取值范圍,并證明.

Answer 1

（1）；（2）；(3) 見解析。

解析試題分析：（1）先求的定義域，然后對求導，令尋找極值點，從而求出極值；（2）構造函數，又，則只需恒成立，再證在處取到最小值即可；（3）有兩個極值點等價于方程在上有兩個不等的正根，由此可得的取值范圍，，由根與系數可知及范圍為，代入上式得，利用導函數求的最小值即可。
試題解析：（1）的定義域是，.
,故當x=1時，G（x）的極小值為0.
（2）令，則，      
所以，即恒成立的必要條件是，
又，由得：．        
當時，由知，
故，即恒成立．               
（3）由，得．
有兩個極值點、等價于方程在上有兩個不等的正根，
即：， 解得 ．
由，得，其中.
所以．　　　                 
設，得，
所以，即．        
考點：（1)利用導求函數的極值、最值；（2）一元二方程根的分布；（3）構造函數解決與不等式有關問題。