Question

設 ．
（1）若是函數的極大值點，求的取值范圍；
（2）當時，若在上至少存在一點，使成立，求的取值范圍．

Answer 1

(1);  (2) .

解析試題分析：(1)對函數求導，
求出零點，分析單調性，找出極大值點與1的關系，進行計算；
（2）原問題轉化為當時, ，利用第一問求出最值，解不等式.
試題解析：(1)
當時，f(x)在（0，1）遞減，在（1，+）遞增，故f(x)在x=1處取到極小值，不合舍去。
當時，f(x)在（0，a-1）遞增，在（a-1，1）遞減，在（1，+）遞增，故f(x)在x=1處取到極小值，不合舍去。
當時，f(x)在（0，1）和（1，+）均遞增，故f(x)在x=1處沒有極值，不合舍去。
當時，f(x)在（0，1）遞增，在（1，a-1）遞減，在（a-1， +）遞增，故f(x)在x=1處取到極大值，符合題意。
綜上所述，當，即時，是函數的極大值點．     6分 
（2）在上至少存在一點，使成立，等價于
當時, ．由（1）知，①當，即時，
函數在上遞減，在上遞增，．
由，解得．由，解得， ； ②當，即時，函數在上遞增，在上遞減，．
綜上所述，當時，在上至少存在一點，使成立．  13分
考點：導數計算，轉化與化歸思想.