Question

設是函數的一個極值點.
(1）求與的關系式（用表示），并求的單調區間；
(2）設，在區間[0，4]上是增函數.若存在使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

(1）b＝－3－2a , 當a<－4時f (x) 的減區間有（－∞，3）和（―a―1，＋∞）,增區間為（3，―a―1）; 當a>－4時f (x) 的減區間有（－∞，―a―1）和（3，＋∞）,增區間為（―a―1，3）;
(2）（0，）.

解析試題分析：(1）由是函數的一個極值點,可得 ,從而就可用用表示出 來；這樣就可以用a的代數式將表達出來，令其等于零解得兩個實根，注意由已知這兩個實根應該不等而得到：a≠－4 ，然后通過討論兩根的大小及 的符號就可確定函數的單調區間；(2）由（1）可求得當當a>0時，在區間[0，4]上的最大值和最小值，由已知也可求得在區間[0，4]上的最大值的最小值；而存在使得成立等價于，解此不等式就可求得的取值范圍.
試題解析：(1）f `(x)＝－[x<sup>2</sup>＋(a－2)x＋b－a ]e<sup>3－x</sup>,
由，得 －[3<sup>2</sup>＋(a－2)3＋b－a ]e<sup>3－3</sup>＝0，即得b＝－3－2a，
則 f `(x)＝[x²＋(a－2)x－3－2a－a ]e^3－x＝－[x²＋(a－2)x－3－3a ]e^3－x＝－(x－3)(x＋a+1)e^3－x.
令f `(x)＝0，得x<sub>1</sub>＝3或x<sub>2</sub>＝－a－1，由于x＝3是極值點，所以，那么a≠－4.
當a<－4時，x<sub>2</sub>>3＝x<sub>1</sub>，則
在區間（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)為減函數；
在區間（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)為增函數；
在區間（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數.
當a>－4時，x₂<3＝x₁，則
在區間（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)為減函數；
在區間（―a―1，3）上，f (x)>0，f (x)為增函數；
在區間（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)為減函數.
(2）由（Ⅰ）知，當a>0時，f (x)在區間（0，3）上的單調遞增，在區間（3，4）上單調遞減，那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[min{f (0)，f (4) }，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e³<0，f (4)＝（2a＋13）e^－1>0，f (3)＝a＋6，
那么f (x)在區間[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e³，a＋6].
又在區間[0，4]上是增函數，
且它在區間[0，4]上的值域是[a²＋，（a²＋）e⁴]，
由于（a²＋）－（a＋6）＝a²－a＋＝（）²≥0，所以只需且僅須
(a²＋）－（a＋6）<1且a>0，解得0<a<.
故a的取值范圍是（0，）.
考點：1.函數的單調性與極值;2.函數的最值與不等式的存在成立.