Question

【題目】如圖,已知橢圓的離心率為,分別是橢圓的左右焦點,點是橢圓上任意一點,且.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)在直線上是否存在點Q,使以為直徑的圓經過坐標原點O,若存在,求出線段的長的最小值,若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ)存在,最小值是

【解析】

(Ⅰ) 根據橢圓的定義可得，，又離心率，可以解出，再根據求出，即可得到橢圓的標準方程；

(Ⅱ) 假設在直線上存在點，則，即，根據點如可求出點坐標，即說明存在；根據距離公式可求出，結合點是橢圓上任意一點可得，消去，由基本不等式即可求出的最小值，并求得點坐標．

(Ⅰ)設，，，則．

∵點是橢圓上任意一點，且．

∴．∴．∴．

∵，∴．

∴所求橢圓的標準方程為．

(Ⅱ)假設在直線上存在點Q，使以為直徑的圓經過坐標原點O，

則．∴．

設，，則．

∴．

當時，以為直徑的圓不經過坐標原點O．

當時，．

∴

∵點在橢圓上，∴．∴．

∴．

，當且僅當或時取等號，此時，

所以，的最小值是．

所以，在直線上存在點，使以為直徑的圓經過坐標原點O，且線段PQ的長的最小值是．