Question

【題目】在如圖所示的六面體中，四邊形是邊長為的正方形，四邊形是梯形，，平面平面，，.

（1）在圖中作出平面 與平面的交線，并寫出作圖步驟，但不要求證明；

（2）求證：平面；

（3）求平面與平面所成角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）延長與相交于點，連接，根據公理和公理可知，即是所求.

（2）通過證明四邊形是平行四邊形，證得，由此證得平面.

（3）利用勾股定理計算出，建立空間直角坐標系，通過平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值.

（1）延長與相交于點，連接，則直線 就是平面與平面的交線.

（2）因為，，所以是的中位線，故，

因為，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以，

因為面，面，

所以平面.

（3）在平面內，過點作的平行線交于點，又，所以四邊形為平行四邊形，所以，，，又因為，所以，

所以為直角三角形，

且，，.

在平面內，過點作的垂線交于點，

又因為平面平面，平面平面，

所以面.

以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，所以，，設是平面的法向量，

則，即，所以可取.

因為是平面的法向量，

所以，

所以平面與平面所成角的余弦值.